求下列函数的极小点：

1. 画出等高线图

求Hessian矩阵

$$

H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2} \end{bmatrix}

$$

1. 计算 $\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}$:

$$ \frac{\partial F}{\partial x_1} = 10x_1 - 6x_2 + 4 $$

再对$x_1$求偏导数：

$$ \frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2} = 10 $$

所以Hessiaon矩阵为

$$ H = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ -6 & 10 \end{bmatrix} $$

由Hessian矩阵计算特征值与特征向量

• 求解特征方程：|H - λI| = 0
• 这会得到一个二次方程，其解就是特征值λ₁和λ₂
• 对每个特征值λᵢ，求解方程 (H - λᵢI)v = 0 得到对应的特征向量

$$ \det(H - \lambda I) = 0 $$

$$ \det(H - \lambda I) = (10 - \lambda)(10 - \lambda) - (-6)(-6) $$

$$ = (10 - \lambda)^2 - 36 $$