$$

H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

$$

特性

1. 对称性：Hessian矩阵是对称的，因为混合偏导数满足克拉姆条件，即 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$
2. 用于极值判断：在优化问题中，Hessian矩阵可以用于判断函数的局部极值。如果在某一点 x，Hessian是正定矩阵，则 f 在该点有局部极小值；如果是负定矩阵，则有局部极大值；如果矩阵既不正定也不负定，则该点可能是一个鞍点。

应用

• 机器学习和优化：Hessian矩阵用于描述损失函数的曲率，在梯度下降等优化算法中可以帮助加速收敛。
• 物理学和工程：Hessian用于分析系统的稳定性以及理解各方向上的变化程度。