泰勒展开公式

Hessian矩阵

图8.1展示了余弦函数在点x=0处的3个近似。请在点x=π/2处重复这个过程( 三阶泰勒展开 )。

计算三个近似值, 就要求零到三阶的导数

• 零阶（原函数）： $f(x) = \cos(x) \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• 一阶导数： $f'(x) = -\sin(x) \Rightarrow f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$
• 二阶导数： $f''(x) = -\cos(x) \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• 三阶导数： $f'''(x) = \sin(x) \Rightarrow f'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

带入泰勒展开式得 F(x)在 $x^* = \frac{\pi}{2}$处的泰勒级数展开式为

$$

\cos(x) \approx f\left(\frac{\pi}{2}\right) + f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot (x - \frac{\pi}{2}) + \frac{f''\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!} \cdot (x - \frac{\pi}{2})^2 + \frac{f'''\left(\frac{\pi}{2}\right)}{3!} \cdot (x - \frac{\pi}{2})^3 $$

三阶近似如下

$$

\cos(x) \approx -(x - \frac{\pi}{2}) + \frac{(x - \frac{\pi}{2})^3}{6}

$$